斜材の挿入によるフレームの強度向上

1.はじめに

　構造物の耐震性能を向上させるための大きな考え方として、耐震、制振、免震の３つが知られている。それぞれの言葉の意味するところは次の通りである。
耐震：地震力に抵抗するため、斜材の挿入などにより構造物自体の剛性を向上させる
制振：構造物に発生した応答を、ダンパーなどを用いて減衰させる
免震：地震動の周期成分から構造物の振動周期を外すことを目的に、構造物基部にゴム等を設置し固有周期を変化させる。
　耐震における斜材の挿入とは、図１のようなイメージである。図の左の状態ではフレーム自体の剛性で外力に抵抗しなければならないが、右の状態ではフレームの剛性に加え斜材の剛性を外力に対する抵抗力に見込むことが可能となる。
　ここでは、斜材の挿入前後でフレーム構造の剛性がどれだけ向上するかを理論的に求めていくこととする。

表１ 解析諸元

　理論解による軸力Tおよび変位δx、δyは以下の値となる。

T = 1.113×10⁴ [N]
δx = 1.5161×10^-1 [mm]
δy = 1.6938×10^-3 [mm]

　Midasによる解析結果を図６～図９に示す。変形状態が分かるよう、変形図は適宜倍率をかけて表示している。これらの図より、数値解析による軸力Tおよび変位δx、δyは以下の値となる。

T = 11126.1 [N]
δx = 0.15161 [mm]
δy = 0.0016938 [mm]

　以上の比較から、理論解と数値解析の結果が一致することを確認した。
　なお、本条件におけるδ0の値は

δ0 = 31.081 [mm]

　である。したがって、斜材１本の挿入により水平方向の剛性は約200倍向上したことになる。

図６ 斜材の軸力

図７ フレーム全体の変形図

図８ フレームの水平方向変形図

図９ フレームの鉛直方向変形図

6.斜材剛性が変化した時の応答に関する考察

　4章で導出した理論解が数値解析の結果と一致したことから、理論解の妥当性が示された。次に、斜材剛性が変化した場合における軸力Tの挙動や、それに伴い変化するであろうδxの動きについて考察を行う。斜材剛性の変化とはE₁A₁が変化することと同義であるから、ここではE₁A₁ →0およびE₁A₁→∞を仮定した評価を行う。 軸力Tは(6)式で評価されるが、(6)式においてE₁A₁の関数となっているのは σ'_Tである。

　まず、E₁A₁ →0のとき、 であるから(6)式は以下のように評価される。

　このとき、(5)式の第２項が0となることから、

δ_x= δ₀

　と求められる。これは自明なことではあるが、斜材がない状態に相当する。

　次に、E₁A₁→∞とした場合、であるから (6)式は以下のように評価される。

　すなわち、斜材を剛体に近づけた場合、発生する軸力が一定値に漸近することとなる。ただし、 であることから斜材には当然変形は発生せず、したがって(1)式より

と求められる。これは荷重作用点が斜材端部を回転軸として鉛直方向にδyだけ変位するように回転した状態を表している。

7.まとめ

　フレーム構造に斜材を挿入した場合の軸力および変位について、構造力学をもとに理論解を導出した。この理論解と汎用ソフトウェアの解析結果を比較することにより、理論解が正しいことを示した。また、導出した理論解をもとに、パラメータが変化した場合の物理的な意味を考察し、それが力学的なイメージと整合することを確認した。

8.参考：仮想仕事の原理による変位の導出

　図４「0系」における、M図およびN図は以下のようになる。

図10 「0系」におけるM図およびN図（左：M図、右：N図）

図11 「0_1系」におけるM図およびN図（左：M図、右：N図）

　仮想仕事の原理では、エネルギーのつり合いの概念に基づき以下の関係が成立する。

　 （仮想外力）×（実変位）=（仮想内力）×（実変形）

　今回の「0系」および「0_1系」では、それぞれの項は以下のように定義される。
（仮想外力）= 1
（実変位）= δ0 ・・・未知量
（仮想内力）= 「0_1系」におけるモーメントおよび軸力
（実変形）= 「0系」におけるひずみ
　ここで実変形、すなわち「0系」におけるひずみは発生断面力を部材剛性で除すことで算出することができる。したがって、「0_1系」におけるモーメントと軸力をそれぞれM、N とおくと、

という関係式が導かれる。ここでの積分変数は部材の長さであるから、図10、図11の断面力を関数として上式に代入すると、δ0を算出することができる。

　なお、δ1については、「1系」における各部材の断面力を用いて実変形を定式化することで導出できる。